§ 8. Законы Кеплера

Рисунок 37 — Элементы эллипса

1. Первый закон Кеплера. До конца XVI в. учёным не удавалось точно рассчитать относительное положение планет на несколько лет вперёд с помощью существовавших в то время теорий. Теоретические выкладки давали заметное расхождение с результатами наблюдений. Причина состояла в ошибочном предположении, что планеты равномерно движутся по строго круговым орбитам вокруг Солнца. Кинематические законы движения планет были открыты лишь в начале XVII в. австрийским астрономом и математиком Иоганном Кеплером. Он впервые разрушил укоренившийся пифагорейский предрассудок о «совершенности» орбит планет, показав их эллиптичность.

Кеплер установил, что планеты обращаются по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Данная закономерность получила название первого закона Кеплера.

Отрезок АВ (рис. 37) называется большой осью, а отрезок СD — малой осью эллипса. Отрезки АО = ОВ = а, СО = OD = b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Формула (1)

Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Чем больше эксцентриситет эллипса, тем больше смещены фокусы по отношению к центру и тем больше будет разность между большой и малой полуосями. То есть эксцентриситет служит мерой «сплюснутости» эллипса.

Для эллипса 0 < е <1. Отметим, что при е = 0 можно рассматривать окружность как частный вид эллипса (b = а).

Допустим, что если Солнце находится в фокусе F1 то ближайшую к Солнцу точку (А) орбиты планеты называют перигелием, а наиболее удалённую (В) — афелием. Обозначим AF1 = q (q — перигелийное расстояние), а BF1 = Q (Q — афелийное расстояние). Из рисунка 37 следует, что q + OF1 = а, OF1 = а • e, тогда

Формула (2)

Формула (3)

 У земной орбиты эксцентриситет равен 0,017. Земля находится в перигелии в начале января, и перигелийное расстояние равно 147 млн км, а в афелии — в начале июля, и афелийное расстояние равно 152 млн км.

Рисунок 38 — Иллюстрация второго закона Кеплера

2. Второй закон Кеплера. Изучая движение Марса в пространстве, Кеплер заметил, что планета движется по орбите неравномерно — зимой быстрее, чем летом. Он стал искать закономерность, по которой происходит изменение скорости Марса, и выдвинул гипотезу, что скорость должна быть обратно пропорциональна расстоянию от Марса до Солнца. Для перигелия и афелия предположение подтвердилось. Тогда Кеплер условно разбил орбиту Марса на 360 частей и начал проверять свою гипотезу для различных её участков. Наблюдения и расчёты показали, что за равные промежутки времени Марс проходит равные площади секторов орбиты.

Современная формулировка этой зависимости распространена на все планеты и носит название второго закона Кеплера. Заключается она в следующем: радиусвектор планеты (линия, соединяющая центр Солнца с центром планеты) за равные промежутки времени описывает равновеликие площади.

Второй закон Кеплера, или закон площадей, проиллюстрирован на рисунке 38. При движении планеты (Р) вокруг Солнца (S) её радиус вектор за равные промежутки времени описывает равные по площади фигуры — P1SP2 и P3SP4. Таким образом, скорость движения планеты по орбите меняется, принимая максимальное значение в перигелии и минимальное в афелии.

3. Третий закон Кеплера. Сравнивая размеры орбит и периоды обращения планет вокруг Солнца, Кеплер обнаружил, что квадраты периодов обращения планет пропорциональны кубам
их средних расстояний от Солнца (или отношение — одинаково для всех планет).

Третий закон Кеплера формулируется следующим образом: квадраты сидерических периодов обращения двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

Формула (4)

Если в этой формуле принять сидерический период обращения Земли вокруг Солнца равным 1 (один год) и большую полуось земной орбиты равной 1 (одна астрономическая единица, см. § 10), то формула (4) примет вид:

или

Формула (5)

На основе открытых законов после многолетних вычислений в 1627 г. Кеплер составил таблицы, по которым можно было найти на небе положение каждой планеты в любой момент времени.

Главные выводы
1. Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
2. За равные промежутки времени радиусы-векторы планет описывают равновеликие площади.
3. Квадраты сидерических периодов обращения двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.
4. Законы Кеплера уточняют учение Коперника, в котором орбиты небесных тел считались окружностями.

Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте законы Кеплера.
2. Меняется ли скорость планеты, движущейся по эллиптической орбите? Круговой орбите?
3. Во сколько раз афелийное расстояние больше перигелийного расстояния, если эксцентриситет орбиты равен 0,5?
4. У Земли эксцентриситет орбиты равен 0,017, а у Марса — 0,093. Орбита какой из планет более вытянута?
5. Считая орбиты Земли и Марса круговыми, рассчитайте продолжительность года на Марсе. При решении задачи учтите, что Марс находится в 1,5 раза дальше от Солнца, чем Земля.
6. Найдите перигелийное и афелийное расстояния астероида Белоруссия, если его большая полуось и эксцентриситет орбиты соответственно равны 2,405 а. е. и 0,181. На какое минимальное расстояние он приближается к Земле?

 

Проверь себя

Выбор тем