23.1. Постановка задачи (этап 1)Задача. В районе расположения четырех населенных пунктов A, B, C и D проходит прямолинейный участок железной дороги (пример 23.1). По просьбе жителей в этом районе решено построить железнодорожную станцию и от нее прямолинейные автомобильные дороги к населенным пунктам. Найти положение железнодорожной станции, при котором общая длина новых автомобильных дорог будет минимальной. 23.2. Выбор плана создания модели (этап 2)Поскольку в задаче речь идет о положении пункта на местности (пример 23.2), сначала необходимо сформулировать математическую задачу (построить документальную математическую модель), а потом найти метод решения этой задачи. Решение задачи будем искать с помощью электронных таблиц. Таким образом, модель создадим по следующему плану:
23.3. Создание документальной математической модели (этап 3а)Чтобы составить математическую задачу, проще всего ввести прямоугольную систему координат и все объекты расположить на ней (пример 23.3). По построению точка S имеет координаты (x; 0), и нужно найти значение x, решающее данную задачу. Для искомого x расстояние |AS| между точками А(x1; y1) и S(x; 0) находится по формуле \( |AS|=\sqrt{(x_1-x)^2+y_1^2}. \) Аналогично вычислив расстояния от S до остальных пунктов, можно найти сумму расстояний f = |AS| + |BS| + |CS| + |DS|. 23.4. Выбор метода решения математической задачи (этап 3б)Сумма расстояний f меняется при изменении x (при изменении положения станции). Таким образом, в задаче построена функция f(x) и нужно найти, при каком значении x она принимает минимальное значение. Это типичная задача исследования функций в электронных таблицах, для решения которой нужно построить таблицу значений функции. А для построения таблицы нужно найти начальное значение и шаг переменной x (пример 23.4). 23.5. Создание компьютерной модели (этап 3в)Исходные данные и начало расчетной таблицы разместим по схеме, приведенной в примере 23.5. Первая ячейка первой строки расчетной таблицы (12-й строки рабочей таблицы) повторяет начальное значение x: A12: =A7. В следующую ячейку строки вводится первая формула В12: =КОРЕНЬ((B$4–$A12)^2+B$5^2) Абсолютные ссылки нужны для обеспечения копирования формул. Диапазон C12:E12 заполняется вправо содержимым ячейки В12. В последней ячейке первой строки проводится суммирование F12:=СУММ(B12:E12) В следующей строке A13:=A12+A$8. 23.6. Исследование модели (этап 4)Проверку адекватности расчетной модели проведем тестированием с помощью известных результатов (пример 23.7). Результат расчетов согласуется с данными расчетной таблицы — 19,99. Модель адекватна. 23.7. Получение решения задачи (этап 5)Для ответа на вопрос задачи анализируется графа «Сумма» расчетной таблицы и находится значение x, при котором функция «Сумма» принимает минимальное значение. Значение x следует уточнить (пример 23.8). |
Пример 23.1. Схема расположения железной дороги и населенных пунктов может выглядеть так, как показано на рисунке. Из пространственных соображений ясно, что нужное положение станции должно существовать. Пример 23.3. По железной дороге направим ось ОХ, а ось OY построим левее населенных пунктов. Обозначим положение станции точкой S.
В этой системе координат каждый населенный пункт и станция получат свои координаты. Будем считать, что работа с картой проведена и координаты (в км) вычислены: A(1; 4), В(4; 3), С(5; –2), D(8; 2). Пример 23.4. Из анализа чертежа на координатной плоскости следует, что нет смысла брать точку S левее перпендикуляра к оси OX через крайнюю левую точку A. Аналогично получается и правая граница значений x. Таким образом, для наших исходных данных получаем, что имеет смысл рассматривать значения x только на отрезке [1; 8]. Выбираем начальное значение x = 1. Шаг переменной x возьмем равным 0,25, т. е. расчеты будем вести в 29 точках: (8 – 1) / 0,25 + 1 = 29. Пример 23.5. Схема размещения данных и заголовков модели. Длинные заголовки вводятся в ячейку, которая на схеме содержит их первые буквы.
Координаты населенных пунктов сведены в таблицу. В таблицах ячейки с заголовками столбцов залиты серым цветом, и данные в них отцентрированы. Описания начальных данных ниже таблицы начинаются знаком «:» (двоеточие). Пример 23.6. В расчетной таблице используется заполнение вниз содержимым ячейки A13 диапазона A13:A30 и заполнение диапазоном B12:F12 диапазона B12:F30. Пример 23.7. Используя калькулятор, посчитаем с помощью формул математической модели сумму расстояний от точки S до остальных точек при x = 1. S = \( \sqrt{16}+\sqrt{9+9}+\sqrt{16+4}+\sqrt{49+4} \) = Пример 23.8. Для уточнения значения нужно уменьшить шаг переменной x и задать в модели новое начальное значение, расположенное в таблице выше найденного значения x. Таким способом положение станции можно найти с любой точностью. |
Упражнения
1. Повторите на компьютере решение задачи по выбору положения железнодорожной станции, рассмотренное в параграфе.
2. Найдите решение исходной задачи для населенных пунктов с координатами: A(2; 6), B(3; –3), C(7; 5), D(10; –5).
3. Найдите решение исходной задачи для пяти населенных пунктов с координатами: A(1; 3), B(1; –4), C(5; 5), D(6; –2), E(7; 4).
4. В исходной задаче населенные пункты имеют координаты: A(2; 4), B(3; –5), C(4; 7), D(8: –4).
5. Найдите положение железнодорожной станции, при котором она по возможности более равномерно удалена от всех четырех пунктов (разность между расстоянием до дальнего пункта и расстоянием до ближнего будет минимальной).
У к а з а н и е. Добавить в расчетную таблицу графу «Разность» с формулой МАКС()–МИН().
6. В исходной задаче населенные пункты имеют координаты: A(1; –4), B(2; 5), C(3; –5), D(10; –4).
7. Найдите решение исходной задачи в случае, когда участок железной дороги не является прямолинейным, а задается графиком функции
\( y=\frac{2x(10-x)}{25} — 1. \)