§21 Моделирование в задаче роста и убывания

21.1. Постановка задачи (этап 1)

Задача. Объем деловой древесины на лесном участке оценивается в 150 тыс. м3. Каждый год этот объем увеличивается на 7% за счет естественного прироста. Начиная с 3-го года на хозяйственные нужды вырубается 20 тыс. м3 древесины ежегодно.

Вопросы:

1. Наступит ли уменьшение объема деловой древесины на участке до 100 тыс. м3 и через сколько лет?
2. Каков ответ на первый вопрос, если, начиная с 4-го года, процент прироста уменьшится до 5 %, а вырубка с 7-го года увеличится до 25 тыс. м3 в год?

21.2. Выбор плана создания модели (этап 2)

Объектом исследования является объем деловой древесины на лесном участке.

Будем строить таблицу, рассчитывая объемы древесины по годам (пример 21.1). Такую таблицу можно получить расчетами вручную или с помощью электронных таблиц (компьютерная модель).

Выбираем компьютерную модель. Причем для ее построения необходимо сначала построить документальную математическую модель с математическими формулами для расчетов. Следовательно, создание модели будет проходить в два этапа:

  • 3а — создание документальной математической модели;
  • 3б — создание компьютерной модели с помощью электронных таблиц.

21.3. Создание документальной математической модели (этап 3а)

Перенумеруем годы, начиная с нулевого (начального). Пусть объем деловой древесины в i-м году будет D(i), процент прироста древесины — Р(i), а объем вырубки — V(i).

Тогда объем древесины в (i + 1)-м году вычисляется по формуле

D(i + 1) = D(i) • (1 + P(i)/100) – V(i).

21.4. Создание компьютерной модели (этап 3б)

Компьютерную модель будем строить, используя схему размещения данных и заголовков, приведенную в примере 21.2.
В первой строке расчетной таблицы (в строке 9) будут отображаться начальные данные для нулевого года, поэтому вводим:

A9: 0 В9: =A3 С9: =A4 D9: =A5

Далее основная для расчетов строка 10:

A10: 1
В10: =В9*(1 + С9/100) – D9
C10: =С9
D10: =D9

Теперь заполним еще 20 строк расчетной таблицы (включая строку 30). Столбец А заполняем вниз содержимым диапазона А9:А10. Затем выделяем диапазон В10:D10 и заполняем вниз содержимым этого диапазона еще 20 строк (пример 21.3).

Так как с 3-го года начались вырубки, в столбец «Вырубка» в строке с номером года 3 вводим число 20 000.

21.5. Исследование модели (этап 4)

Полная адекватность модели сомнений не вызывает, т. к. данные и формулы модели полностью соответствуют данным задачи. Адекватность также может быть проверена тестированием, т. е. расчетами вручную (пример 21.4).

21.6. Получение решения задачи
(этап 5)

Для ответа на первый вопрос задачи анализируем расчетную таблицу (пример 21.5).

Для ответа на второй вопрос вносим изменения в графы «Процент» (для 4-го года) и «Вырубка» (для 8-го года) и анализируем таблицу (пример 21.6).
Экологические проблемы в современном мире становятся все значительнее и постепенно выходят на первый план. Этому способствуют в первую очередь техногенные факторы, связанные с массовым производством.

Бездумное воздействие общества на природу перешагнуло грань, которая позволяла неограниченно использовать природные ресурсы. Результатом стало загрязнение значительных территорий суши и вод Мирового океана бытовыми отходами и отходами промышленного производства, сокращение запасов полезных ископаемых, лесных и рыбных ресурсов. Теперь принятие любого производственного решения требует просчета всех его последствий.

Пример 21.1. В таблицах для расчетов по годам объемов ресурсов (сумм денежных вкладов, регулярных денежных расходов и т. п.) строки связаны с номерами лет.

Столбцы таблицы содержат объемы ресурсов (денежные суммы), проценты прироста или убывания, объемы прироста или убывания по каждому году.

Любая таблица в задачах роста и убывания построена на основе формулы прироста (убывания), которая по одной строке таблицы вычисляет значение объема ресурса для следующей строки (начало следующего года). Нумерацию лет можно начинать с 0 или брать фактические номера лет.

Пример 21.2. Схема размещения данных и заголовков модели в электронных таблицах.

Длинные тексты (название модели, названия разделов модели, описания данных) вводятся в ячейки, которые на схеме содержат их первые буквы. Описания данных начинаются знаком «:» (двоеточие), что позволяет отделить описания от численных значений.

Строка заголовков столбцов рабочей таблицы (ячейки диапазона A8:D8) залита серым цветом в результате выбора этого цвета в меню кнопки Цвет заливки (на панели Главная в группе Шрифт).

Пример 21.3. Начало рабочей таблицы модели до ввода данных по вырубке, которая начинается с 3-го года.

Пример 21.4. Для проверки адекватности модели достаточно проверить правильность вычислений во второй строке расчетной таблицы.

Вычислениями по формуле на калькуляторе можно получить, что объем древесины на начало первого года должен составить 160500 м3 , что соответствует данным расчетной таблицы.

Пример 21.5. Ответ на первый вопрос задачи: объем деловой древесины на участке уменьшится до 100 тыс. м3 через 12 лет.

Пример 21.6. Ответ на второй вопрос задачи: объем деловой древесины на участке может уменьшиться до 100 тыс. м3 уже через 9 лет.

 
1.  Что такое моделирование?
2.  Почему моделирование позволяет решать сложные задачи быстрее и с меньшими затратами средств?
3. Как используемые при моделировании законы некоторой науки отражаются в
названии модели?
4.  В чем состоит план создания модели в процессе моделирования?

Упражнения

1.   Перечислите этапы моделирования в задаче роста и убывания.

2.   Повторите на компьютере решение задачи роста и убывания, рассмотренное в параграфе.

3.  Изменив построенную модель роста и убывания, решите следующую задачу: «На пищевом комбинате в установку по производству дрожжей заложена 1 т дрожжевой массы. При поддержании оптимальной температуры за сутки масса дрожжей возрастает на 150 %. 1,5 т массы ежедневно пускают в производство. В результате неполадки температура в установке повысилась, и прирост составил 160 % в сутки. Через сколько суток масса дрожжей в установке может достигнуть 3,5 т?»

4.  Решите следующую задачу: «Закон изменения массы m колонии вируса гриппа имеет вид m = m0\( 2^\frac{t}{∆t} \),  где m0 — первоначальная масса колонии, t — время в часах, ∆t — шаг времени в часах. Установите, через сколько часов масса колонии превысит 1,9 г, если m0 = 0,03 г, ∆t = 1».