§ 9. Множества. Операции над множествами

Рассмотрим высказывание «Все учащиеся нашего класса имеют дома компьютер». Истинно оно или ложно? Для ответа на этот вопрос нужно у каждого из своих одноклассников уточнить: «У тебя дома есть компьютер?» Если все учащиеся класса ответят утвердительно, то высказывание истинно, если хотя бы один из учащихся ответит «нет», то высказывание будет ложным. Для разных классов это высказывание будет иметь различные значения, потому что различными будут множества учащихся класса.

 

Множество — совокупность каких-либо объектов, обладающих общим свойством. Эти ! объекты называют элементами множества.

С элементами теории множеств вы познакомились в прошлом году на уроках математики. Вспомним основные понятия и обозначения в теории множеств. Множества обычно обозначают прописными латинскими буквами, а элементы множества — строчными. Если множество М состоит из элементов а, b, с, то его записывают так: М = {а, Ь, с).

Чтобы задать конечное множество, можно перечислить его элементы (пример 9.1). В тех случаях, когда множество нельзя задать при помощи списка элементов, его задают путём указания некоторого общего свойства элементов множества (пример 9.2).

Для обозначения принадлежности элемента множеству используют специальные знаки: а ∈ М (элемент а принадлежит множеству М), а ∉ М (элемент а не принадлежит множеству М).
Мощность множества — количество элементов данного множества (пример 9.3).
Подмножеством множества М называется любое множество А, каждый элемент которого является элементом множества М.
Если А — подмножество множества М, то это записывают так: А ⊂ М . Запись А ⊄ М обозначает, что множество А не является подмножеством множества М.

Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента (обозначается знаком 0).
Для наглядной геометрической иллюстрации множеств и отношений между ними используют круги Эйлера (пример 9.4).
Для множеств, как и для высказываний, определены свои операции. Такими операциями являются операции пересечения и объединения множеств (пример 9.5).

Пересечением множеств А и В называется множество, в которое входят только те элементы, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В. Для обозначения операции пересечения используется знак ∩.

Объединением множеств А и В называется множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств (как множества А, так и множества В). Д ля обозначения операции объединения множеств используется знак U.
Элементы теории множеств и математической логики используются при решении математических и логических задач.

Пример 9.6. В классе 25 учащихся. Среди них 20 изучают английский язык, а остальные — китайский. 12 учащихся класса занимаются в спортивных секциях, причём 10 из них изучают английский язык. Сколько учащихся, изучающих китайский язык, не посещает спортивные секции? 

Множества могут состоять из самых различных элементов, поэтому теория множеств находит применение в различных областях знаний. В информатике теория множеств и математическая логика помогают создавать более надёжные и эффективные программы и системы.

Операции над множествами также используются в компьютерной графике при построении графических объектов (пример 9.7) и в моделировании ЗD-объектов (пример 9.8).

Искусственный интеллект использует операции над множествами для классификации объектов: объекты распределяются по классам (множествам), и проводится анализ их пересечений или различий.
В конце X IX в. немецкий математик Георг Кантор (1845-1918 гг.) определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством».
Множество всех объектов, обладающих свойством А(x), Кантор обозначил {х | А(х)}, а само А(х) назвал характеристическим свойством множества.

Пример 9.1. Задание множества перечислением.

Множество М некоторых школьных предметов, состоящее из элементов математика, информатика, английский язык, можно записать так:

М — {математика, информатика, английский язык};

информатика ∈ М;

литература ∉ М.

Пример 9.2. Задание множества через общее свойство его элементов.

Пусть множество М — множество натуральных чисел.
Тогда:

8 ∈ М;
— 3 ∉ М ;
3,14 ∉ М .

Некоторые множества могут быть описаны обоими способами.
Путём перечисления элементов задали следующее множество:

А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Это же множество может быть задано путём указания общего свойства элементов множества: «Множество однозначных натуральных чисел».
Если использовать обозначение, введённое Кантором, то это множество можно описать так:

А = { а \ а & N, 1 < а < 10}.

Пример 9.3. Мощность множества.

Мощность множествам={математика, информатика, английский язык} равна трём.

Обозначение: |М| = 3.

Мощность пустого множества равна нулю.

Пример 9.4. Круги Эйлера.

М — множество всех хищников;

А — множество всех рысей.

А ⊂ М

Пример 9.5. Пересечение и объединение множеств.


Пример 9.6. Использование множеств при решении задач.

А = {изучающие английский язык}.

В = {занимающиеся в спортивных секциях}.

Пересечение множеств А и В соответствует множеству учащихся, изучающих английский язык и занимающихся спортом, а объединение — множеству учащихся, которые изучают английский язык или посещают секции.
Тогда: |А U B| = |A| + |B|  — |А U В| = 20 + 12 — 10 = 22.
Число учащихся, изучающих китайский язык и не посещающих спортивных секций: 25 — 22 — 3.

Пример 9.7. Использование множеств в компьютерной графике.

А — |А ∩ В | = А — В

Пример 9.8. Использование множеств в ЗD-моделировании.

Для получения кольца (множество С) необходимо к множеству А (шар) и множеству В (цилиндр) применить операцию разность. Объединив множества С и А, можно получить планету.

 
1. Что понимают под множеством?
2. Какими способами можно задать множества? Приведите примеры.
3. Что понимают под подмножеством?
4. Какими геометрическими средствами можно изобразить множества?
5. Что понимают под пустым множеством?
6. Что характеризует мощность множества?
7. Может ли элемент множества одновременно принадлежать разным подмножествам данного множества?
8. Что называют пересечением множеств?
9. Что называют объединением множеств?
10. Как обозначаются операции пересечения и объединения множеств?

Упражнения

1. Дополните каждое из множеств одним-двумя элементами. Определите итоговую мощность множеств.

  1. А = {математика, информатика, история, литература}.
  2. В = {яблоко, груша, апельсин, слива}.
  3. С = {клавиатура, монитор, мышь}.
  4. D = {карандаш, ручка, ластик, фломастер}.

 

2. Назовите, какие элементы могут входить в множества.

  1. Средства передвижения.
  2. Домашние животные.
  3. Детские и молодёжные общественные организации Республики Беларусь.
  4. Государственные праздники Республики Беларусь.
  5. Чётные числа.

3. Откройте файл с группами слов. Разделите слова каждой группы на два множества. Слова первого множества выделите красным цветом, а второго — синим. По каким признакам вы разделили слова?

Образец.

Текст в файле: гусь, лебедь, заяц, волк, павлин, курица, кабан, лось.

Результат:

А = {гусь, лебедь, павлин, курица};
В = {заяц, волк, кабан, лось}.

Признаки: А — множество птиц, В — множество зверей.

  1. Мяч, стол, стул, коньки, шкаф, клюшка, шайба, комод.
  2. Сом, уж, карась, окунь, щука, гадюка, кобра, питон.

4. Выделите подмножества из множества геометрических фигур А = {круг, овал, квадрат, прямоугольник, треугольник, пятиугольник}.

  1. Фигуры, не имеющие углов.
  2. Фигуры, являющиеся четырёхугольниками.
  3. Фигуры, количество углов у которых больше трёх.

5. В графическом редакторе откройте файл с изображениями бабочек. Используя операцию копирования, создайте подмножества и разместите их в прямоугольниках.

  1. Бабочки, в окраске которых есть синий цвет.
  2. Бабочки, в окраске которых есть красный цвет.
  3. Бабочки, в окраске которых есть зелёный цвет.
  4. Бабочки, в окраске которых есть жёлтый цвет.

6. Найдите пересечение и объединение множеств A и B. Изобразите их с помощью кругов Эйлера.

  1. А = {математика, информатика, история, литература}; В = {английский язык, математика, химия, история}.
  2. А = {яблоко, апельсин, мандарин, лимон, киви}; В = {апельсин, персик, мандарин, груша, лимон}.

7. Решите задачи с использованием кругов Эйлера (нарисуйте круги в графическом редакторе).

  1. Об учащихся школы, которые участвовали в физико-математическом конкурсе, известно следующее: 7 из них решили задачи и по математике, и по физике, 11 — задачи по математике, 9 — задачи по физике. Сколько учащихся принимало участие в конкурсе?
  2. * Из 100 туристов, отправившихся в путешествие по Беларуси, Мирский замок посетило 30 человек, Несвижский замок — 28, Лидский замок — 42. Мирский и Несвижский замки посетило 8 человек, Несвижский и Лидский замки — 10, Мирский и Лидский замки — 5, все три замка — 3 человека. Туристы, которые не посетили ни одного замка, посещали Беловежскую пущу. Сколько человек посетило Беловежскую пущу?

8. Откройте в графическом редакторе файл с изображением девочек и выполните задания.

  1. Создайте два подмножества множества девочек. Для всех девочек, входящих в первое подмножество, истинно высказывание «Девочка носит брюки синего цвета И на её майке есть красный цвет». Для всех девочек, входящих во второе подмножество, истинно высказывание «Девочка одета не в брюки ИЛИ имеет волосы жёлтого цвета».
  2. Найдите пересечение и объединение этих множеств.
  3. Сколько девочек не попало ни в одно подмножество?
  4. Вокруг девочек из первого множества нарисуйте границу красного цвета, а вокруг девочек из второго множества — зелёного. Область пересечения закрасьте жёлтым цветом.