§ 7. Логические операции И и ИЛИ

Логика высказываний позволяет строить составные высказывания. Они создаются из нескольких простых высказываний путём соединения их друг с другом с помощью логических операций НЕ, И, ИЛИ и др.

7.1. Логическая операция И

Определение истинности или ложности составного высказывания зависит от того, являются ли истинными или ложными простые высказывания, входящие в его состав, а также от той логической операции, которая их связывает.

Составное высказывание А И В, образованное в результате объединения двух простых высказываний А и В логической операцией И, истинно тогда и только тогда, когда А и В одновременно истинны.

Если хотя бы одно из простых высказываний, связанных операцией И, будет ложным, то и составное высказывание будет ложным. В примерах 7.1 и 7.2 показано, как определять истинность составного высказывания, содержащего логическую операцию И. Представим таблицу истинности для логической операции И:

Операцию И называют логическим умножением. Равенства 1•1 = 1, 1•0 = 0, 0•1 = 0, 0 • 0 = 0 верные как для обычного, так и для логического умножения.

Для записи логической операции И используют следующие обозначения: А И В, A AND В, А • В, А * В, А ˆ В, А & В.

7.2. Логическая операция ИЛИ

Составное высказывание А ИЛИ В, образованное в результате объединения двух простых высказываний А и В логической операцией ИЛИ, ложно тогда и только тогда, когда А и В одновременно ложны.

Если хотя бы одно из простых высказываний, связанных операцией ИЛИ, будет истинным, то и составное высказывание будет истинным (примеры 7.3 и 7.4). Таблица истинности для логической операции ИЛИ:

Запись логической операции ИЛИ можно встретить в следующих вариантах: А ИЛИ В, A OR В, А + В, A v В, А | В.
Если в логическом выражении присутствует несколько логических операций, то важно определить порядок их выполнения. Наивысшим приоритетом обладает операция НЕ. Логическая операция И — логическое умножение — выполняется раньше операции ИЛИ логического сложения (примеры 7.5* и 7.6*).
Для изменения порядка выполнения логических операций используют скобки: в этом случае сначала выполняются операции в скобках, а затем все остальные.
Логические операции И и ИЛИ подчиняются переместительному закону:

А И В = В И А;
А ИЛИ В = В ИЛИ А.

Часто для того чтобы определить значение составного логического выражения, достаточно знать значение только одного простого высказывания. Так, если в составном высказывании с операцией И значение хотя бы одного простого высказывания будет ложным, то значение составного высказывания будет ложным. Если в составном высказывании с операцией ИЛИ хотя бы одно простое высказывание будет истинным, то значение составного высказывания будет истинным (пример 7.7).
В 1936-1938 гг. Клод Шеннон, инженер и математик, нашёл применение булевой логике при конструировании схем из реле и переключателей.
В дальнейшем это открытие послужило основанием для построения логических элементов, на которых работает компьютерная техника. Состояние элементов компьютера соответствует логическим значениям:

  1. 0 — сигнал отсутствует;
  2. 1 — сигнал присутствует.

  Пример 7.1. Анализ высказывания «Число 456 трёхзначное и чётное».

Данное высказывание является составным, поскольку оно содержит два простых высказывания:

А = Число 456 трёхзначное.
В = Число 456 чётное.

Высказывания А и В соединены логической операцией И, поэтому получилось составное высказывание А И В. Высказывание А — истинно, высказывание В — истинно. Поэтому высказывание А И В — истинно: (А И В) = 1.

Пример 7.2. Анализ высказывания «Геракл — герой древнерусской мифологии и сын бога Зевса».

Высказывание А = Геракл — герой древнерусской мифологии. Ложно, А = 0. Высказывание В = Геракл — сын бога Зевса. Истинно, В = 1.

Высказывание А И В = Геракл — герой древнерусской мифологии И сын бога Зевса ложно: (А И В) = 0.

Пример 7.3. Анализ высказывания «Семиклассники изучают философию или астрономию».

Данное составное высказывание образовано из двух простых:

А = Семиклассники изучают философию.

В = Семиклассники изучают астрономию.

Высказывания связаны логической операцией ИЛИ. В результате получили составное высказывание А ИЛИ В. Высказывание А ложно, высказывание В ложно. Поэтому высказывание А ИЛИ В ложно:
(А ИЛИ В) = 0.

Пример 7.4. Анализ высказывания «Франциск Скорина — белорусский первопечатник или Стефан Баторий — турецкий султан».

А = Франциск Скорина — белорусский первопечатник.
Истинно, А = 1.

В = Стефан Баторий — турецкий султан. Ложно, В = 0.

Составное высказывание будет истинным: (А ИЛИ В) = 1.

Пример 7.5*. Определение значения логического выражения А ИЛИ В И НЕ С.

Распишем по действиям вычисление значения выражения:

  1. D = НЕ С;
  2. Е = В И D;
  3. F — А ИЛИ Е.

Значение высказывания F, полученное в 3-м действии, определит значение исходного логического выражения.

Пример 7.6*. Определение значения логического выражения А ИЛИ В И НЕ С при А = 1, B = О, С = 0.

Распишем по действиям вычисление значения выражения:

  1. D = НЕ С — 1;
  2. E = В И D = 0 И 1 = 0;
  3. F = А ИЛИ E = 1 ИЛИ 0 = 1.

Результат: значение логического выражения А ИЛИ В И
НЕ С истинно.

Пример 7.7. Определение значения составного высказывания.

Даны простые высказывания:

А = Прогноз погоды обещает дожди.

В = Сейчас на улице идёт дождь.

Высказывание А И В будет ложным, если мы увидим, что на улице нет дождя (независимо от того, что обещал прогноз погоды).
Высказывание А ИЛИ В будет истинным, если прогноз погоды обещал дождь (независимо от того, какую погоду мы наблюдаем сейчас).

 
1. Какие высказывания являются составными?
2. Как называются известные вам логические операции?
3. В каких случаях составное высказывание А И В может быть истинным?
4. В каких случаях составное высказывание А ИЛИ В может быть ложным?

Упражнения

1. Определите, истинными или ложными являются составные высказывания.

  1. Мяч круглый ИЛИ Земля плоская.
  2. Кролики — домашние животные И баобаб растёт в Беловежской пуще.
  3. Клавиатура — устройство ввода информации ИЛИ мышь — устройство вывода информации.
  4. И. А. Крылов написал басню «Квартет» И М. Ю. Лермонтов написал стихотворение «Парус».
  5. Сосна — хвойное дерево И кедр — не хвойное дерево.
  6. Монитор — устройство ввода информации ИЛИ сканер — не устройство вывода информации.
  7. *Континенты И острова — это большие участки суши.

2. Подготовьте к каждому из высказываний рисунки, учитывая, что все
высказывания о том, как прошли летние каникулы, являются истинными.

  1. Я была у бабушки в деревне, и рядом с деревней находилось озеро.
  2. По озеру плавала лодка или утка.
  3. Мы с бабушкой насобирали малины и смородины.
  4. Я составила букет из цветов. В нём были ромашки или
    гвоздики.

3. Откройте файл с рисунком и разложите грибы по корзинкам так, чтобы было истинным высказывание «В большой корзине все грибы съедобные И в маленькой корзине все грибы несъедобные».

4*. Найдите значения логических выражений, если А = 1, В = 1, С = 0, D = 0.

  1. A ИЛИ B И НЕ С.
  2. A И НЕ B ИЛИ С.
  3. A ИЛИ B И НЕ (С И D).
  4. (A И B) ИЛИ НЕ С И (А ИЛИ B) ИЛИ НЕ D.