Возможности компьютера велики. Он может помочь врачу поставить правильный диагноз пациенту, пассажиру — выбрать билет на нужный поезд. Компьютер управляет автомобилем, составляет прогнозы погоды и умеет делать многое другое.

Для того чтобы выяснить, как «рассуждает» компьютер, сначала нужно попытаться понять, как думает человек. Ведь именно человек создал компьютер, и компьютер выполняет только те действия, которым его научил человек. Изучение логики высказываний поможет понять, как «рассуждает» компьютер.

Наши знания об окружающем мире мы выражаем в повествовательных предложениях. Такие предложения могут отражать действительность верно или неверно. Думая, человек строит свои рассуждения, основываясь на собственных знаниях.

Ещё Аристотель заметил, что правильность рассуждений не зависит от содержания, а определяется формой.

На правилах математической логики построены процессы «рассуждений» компьютера. Изучение логики высказываний поможет понять, как можно научить компьютер «думать».

6.1. Понятие высказывания

Об истинности высказывания можно говорить только в настоящем времени: высказывание «Идёт дождь» может быть истинным сейчас и ложным через час.

Как правило, высказывания обозначают заглавными латинскими буквами. Если высказывание А истинно, обычно пишут А — 1, если ложно — А — 0 (пример 6.2). Часто используют такие обозначения: А = true (истина) или А = false (ложь).

6.2. Логическая операция НЕ

С высказываниями можно производить различные операции, подобно тому, как в математике — с числами (сложение, умножение, вычитание и др.).

Логическое отрицание получается из высказывания добавлением частицы «не» к сказуемому или использованием оборота «неверно, что…» (пример 6.3). Иногда при построении отрицаний некоторые слова заменяют их антонимами, если это возможно.

Если высказывание содержит слова «все», «всякий», «любой», то отрицание такого высказывания строится с использованием слов «некоторые», «хотя бы один» (пример 6.4). И наоборот, для высказываний со словами «некоторые», «хотя бы один» отрицание будет содержать слова «все», «всякий», «любой».

Любую операцию над числами в математике обозначают каким либо знаком: «+», «-», «•», «;». Для логических операций также определены свои обозначения.
Если операцию отрицания применяют к высказыванию А, то это можно записать так: НЕ А.
Можно встретить и другие обозначения для логической операции отрицания: .
Истинность высказывания НЕ А, независимо от содержания высказывания, можно определить по таблице истинности:

Из таблицы истинности следует, что отрицанием истинного высказывания будет ложное, а отрицанием ложного — истинное (пример 6.5). Высказывание и его отрицание никогда не могут быть истинными или ложными одновременно.

Например, отрицанием высказывания «У меня есть компью­тер» будет высказывание «У меня нет компьютера» (или высказывание «Неверно, что у меня есть компьютер»). Истинность этих высказываний зависит от конкретного человека. Для одних будет истинным первое высказывание, а для других — второе. Но эти два высказывания не могут быть истинными или ложными одновременно для одного и того же человека.

Древнегреческий философ Аристотель (384-322 гг. до н. э.) первым систематизировал формы и правила мышления, разработал теорию умозаключений и доказательств, описал логические операции. Аристотелю принадлежат формулировки основных законов мышления.

У истоков современной логики стоял немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716 гг.). Учёный предложил идею представления логических рассуждений как вычислений, подобных вычислениям в математике.

Английский математик Джордж Буль (1815-1864 гг.) перенёс на логику законы и правила математических (алгебраических) действий, создав тем самым алгебру логики.

Формальная логика использует строгие правила и математические конструкции, применяется в точных науках. Неформальная логика используется в естественном языке и в дискуссиях и риторике, анализирует повседневные рассуждения. В дедуктивных рассуждениях из истинных посылок следует истинное заключение, в индуктивных рассуждениях даже при верных посылках вывод может оказаться как истинным, так и ложным.

Пример 6.1. Предложения, являющиеся высказываниями.

1. Атом водорода самый лёгкий (истинно).
2. Клетка — центральная часть атома (ложно).
3. Кирилл Туровский — известный английский писатель и оратор, живший во второй половине XII в. (ложно).
4. Частное какого-то числа и 1 равно этому числу (истинно).

Пример 6.2. Обозначение истинности высказывания.

А = а⁰ равно 1, если а ≠ 0;

В = Масса измеряется в литрах.

Для приведённого примера А = 1, В = 0.

Пример 6.3. Построение отрицания высказываний.

Высказывания:

1. У цветковых растений развивается плод.
2. Фреска — это живопись водяными красками по свежей штукатурке.

Отрицание высказываний:

1. У цветковых растений не развивается плод.
2. Неверно, что фреска — это живопись водяными красками по свежей штукатурке.

Пример 6.4. Построение отрицания высказываний.

Высказывания:

1. Все учащиеся занимаются спортом.
2. Некоторые птицы умеют плавать.
3. Любой цветок имеет запах.
4. Иногда у мамы бывает плохое настроение.

Отрицание высказываний:

1. Некоторые учащиеся не занимаются спортом.
2. Все птицы не умеют плавать.
3. Хотя бы один цветок не имеет запаха.
4. У мамы всегда бывает хорошее настроение.

Пример 6.5. Определение истинности высказываний с отрицаниями.

1. Ель — это дерево (истинное высказывание). Ель — это не дерево (ложное высказывание).
А = 1, НЕ А = 0.
2. Число -7 является положительным числом (ложное высказывание). Число -7 не является положительным числом (истинное высказывание).
А = 0, НЕ А — 1.
3. Все вещества — металлы (ложное высказывание). Некоторые вещества — неметаллы (истинное высказывание).
А = 0, НЕ А = 1.
4. Все составляющие воздуха являются газами (истинное высказывание). Некоторые составляющие воздуха не являются газами (ложное высказывание).
А = 1, НЕ А = 0.
5. Длительность суток не зависит от скорости вращения планеты (ложное высказывание). Длительность суток зависит от скорости вращения планеты (истинное высказывание).
А = 0, НЕ А = 1.
6. Дома на левой стороне улицы имеют чётные номера (ложное высказывание). Неверно, что дома на левой стороне улицы имеют чётные номера (истинное высказывание).
А = 0, НЕ А = 1.