12.1. Понятие системы счисления

Первые компьютеры называли ЭВМ — электронно-вычислительная машина. Их основным назначением было производство расчетов, для ко­торых необходимы числовые данные. Существует большое количество спо­собов представления числовых дан­ных (пример 12.1). С древних вре­мен люди использовали специальные значки для обозначения чисел. Такие значки называют цифрами.

Система счисления — способ запи­си числа с помощью набора условных знаков, называемых цифрами.

Системы счисления бывают пози­ционными и непозиционными. В по­зиционной системе счисления число­вое значение цифры зависит от той позиции, которую цифра занимает в записи числа. В непозиционной систе­ме счисления цифра всегда имеет одно и то же значение. В наше время человечество исполь­зует в основном десятичную систе­му счисления. В ней для записи чи­сел используется 10 цифр: 0, 1, … 9. Число 10 является основанием деся­тичной системы счисления.

Любое число в десятичной системе счисления можно записать как сумму разрядных слагаемых (пример 12.2). Числа 1, 10, 100… являются разрядны­ми единицами. Каждая разрядная еди­ница может быть записана в виде 10ⁿ.

Аналогичную запись числа можно получить, если вместо 10 как основания системы счисления взять произ­вольное число p ( p G 1). Разрядными единицами становятся степени осно­вания системы счисления. Для записи числа в системе счисления с основани­ем p понадобится p цифр. Обычно ис­пользуют первые p цифр десятичной системы счисления: 0, 1, …, (p – 1). Например, для четверичной системы счисления это будут цифры 0, 1, 2, 3 (пример 12.3).

В общем виде число Z можно запи­сать следующим образом:

Zp = a_nPⁿ + a_n-1 p ^{– 1} + … + a₁p¹ + a_op⁰, где число p — основание системы счис­ления, коэффициенты a_n, a_n _ ₁, … a₁, a₀ — цифры числа, значения pⁿ, p^{n – 1}, …, p¹, p⁰ — разрядные единицы.

Основание системы счисления при­нято указывать как нижний индекс в десятичной системе. Например, де­сятичное число 1443 можно запи­сать как 1443₁₀ или как 5A3₁₆, 2643₈, 10110100011₂ (пример 12.4). Для деся­тичного числа индекс 10 можно не ука­зывать.

Десятичная система счисления яв­ляется примером позиционной систе­мы счисления (пример 12.5). Приме­ром непозиционной системы счисле­ния является римская.

В настоящее время используются позиционные системы счисления с основаниями 2, 3, 8, 10, 16. При рабо­те с компьютерами чаще всего используются шестнадцатеричная, восьме­ричная, двоичная системы счисления.

Двоичная система счисления по­зволяет записывать числа с помощью двух цифр — 0 и 1. Запись числа в двоичной системе счисления является двоичным кодом числа.

В восьмеричной системе счисления используются цифры от 0 до 7. Ее применение для компьютеров обуслов­лено тем фактом, что в одном байте 8 бит. С помощью восьмеричных чисел записывают коды чисел и машинных команд. Сейчас восьмеричную систе­му счисления практически полностью вытеснила шестнадцатеричная.

В шестнадцатеричной системе счис­ления используются 16 цифр: 10 цифр из десятичной системы счисления — 0…9 — и 6 букв латинского алфави­та — A, B, C, D, E, F (пример 12.6). Система счисления с основанием 16 широко используется в компьютерной документации и при написании про­грамм непосредственно в машинном коде. Например, для записи адресов команд, цветовых констант.

12.2. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую

Любое число имеет значение и фор­му представления. Значение числа за­дает количественную меру и опреде­ляется его отношением к значениям других чисел («больше», «меньше», «равно»). Форма представления числа определяет способ записи числа с помо­щью предназначенных для этого цифр. Значение числа не зависит от способа его представления: число с одним и тем же значением может быть записа­но по-разному (пример 12.7). Системы счисления определяют форму пред­ставления чисел, а поскольку их мно­го, то возникает вопрос о возможности и способах перехода от одной формы представления числа к другой. В даль­нейшем будем рассматривать только позиционные системы счисления.

Перевод числа из системы счисле­ния с основанием p в систему счисле­ния с основанием q обозначают как Z_p Z_q. Непосредственный перевод вы­полнять непросто, поэтому чаще всего рассматривают переводы Z_p Z_r Z_q, где обычно r = 10. То есть для выпол­нения переводов нужно уметь пере­водить числа в десятичную систему счисления и из десятичной в систему счисления с другим основанием.

Для получения алгоритма перево­да числа из десятичной системы счис­ления в систему счисления с другим основанием рассмотрим запись числа в виде суммы разрядных слагаемых: Zp = anPⁿ + a_n – ip^{n – 1} + … + ap + a^p⁰

В этой сумме каждое слагаемое за исключением последнего обязательно делится на р. Тогда получаем, что по­следнее слагаемое a₀ является остатком от деления исходного числа на p. Разде­лим число на p, получим сумму разряд­ных слагаемых со старшей степенью на 1 меньше. Найдя остаток его деления на p, получим значение a1. Продолжая та­ким образом, получим все значения a_i.

В примере 12.8 рассмотрены пере­воды чисел из десятичной системы счисления.

Алгоритм перевода Z₁₀ Z_p:

• Разделить нацело исходное чис­ло на основание новой системы счис­ления p и найти остаток от деления. Это будет цифра a₀.
• Частное от деления снова разде­лить нацело на p с выделением остатка. Продолжать до тех пор, пока частное от деления не окажется меньше p.

Полученные остатки от деления, записанные в порядке, обратном порядку их получения, являются записью числа в системе счисления с основанием p.

В примере 12.9 приведены переводы чисел в десятичную систему счисления. Алгоритм перевода Z_p Z₁₀ вытекает из способа представления числа в системе счисления с основанием p:

1. Представить число в виде суммы разрядных слагаемых по степеням p.
2. Выполнить арифметические операции в десятичной системе счисления.

Отдельно рассматривается ситуа­ция переводов Z_p Z_q, если p и q являются степенями двойки.
В этом случае в качестве промежуточной системы счисления удобно выбирать двоичную.
Перевод из системы счис­ления с основанием степени двойки в двоичную основан на том, что каждой цифре в этой системе счисления соответствует группа двоичных цифр:

• шестнадцатеричной цифре соот­ветствует группа из четырех двоичных цифр (16 = 2⁴), называемая тетрадой;
• восьмеричной цифре соответствует группа из трех двоичных цифр (8 = 2³), называемая триадой;
• четверичной цифре соответствует пара двоичных цифр (4 = 2²).

Таблицы тетрад, триад и двоичных пар приведены в примере 12.10.
Для перевода числа из системы счисления с основанием 16 в двоичную систему счисления каждую цифру числа за­меняют соответствующей тетрадой (пример 12.11). При переводе из вось­меричной системы счисления цифры заменяются триадами (пример 12.12), а из четверичной — парами (при­мер 12.13).

При переводе из двоичной системы счисления число разбивается соответ­ственно на группы по 4, 3 или 2 циф­ры справа налево. При необходимости слева к числу можно приписать нули. Затем производится замена тетрады (триады или пары) на соответствую­щую цифру (пример 12.14). Перевод Z₁₆ Z₈ и Z₄ Z₁₆ показан в приме­рах 12.15 и 12.16.

Калькулятор в ОС Windows позво­ляет выполнить переводы чисел из одной системы счисления в другую. Ра­ботает калькулятор с системами счис­лений, основаниями которых являют­ся 2, 8, 10 и 16. Для осуществления переводов калькулятор должен быть в режиме Программист (пример 12.17). Обозначения для систем счисления: Hex — шестнадцатеричная, Dec — десятичная, Oct — восьмеричная, Bin — двоичная. Для перевода числа с помощью калькулятора нужно:

1. Выбрать основание системы счисления исходного числа.
2. Набрать число.
3. Результат отобразится сразу для всех систем счисления.

В режиме Программист калькуля­тор может работать только с целыми числами.

У первобытного человека орудием счета были преимущественно пальцы. С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10. В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног.
Известны народы, у которых единицами счета были не пальцы, а их фаланги.

Непозиционной системой счисления является славянская, в которой вместо цифр использовались буквы алфавита. Чтобы отличать буквы от цифр, над буквами с числовым значением писался специальный знак — титло.

Пример 12.2. Запись числа 5973 в виде суммы разрядных слагаемых в де­сятичной системе счисления:

5973 = 5 • 1000 + 9 • 100 + 7 • 10 + 3 = = 5 • 10³ + 9 • 10² + 7 • 10¹ + 3 • 10⁰.

Пример 12.3. Запись числа 12302₄ в виде суммы разрядных слагаемых в четверичной системе счисления:

12302 = 1 • 4⁴ +2 • 4³ + 3 • 4² + 0 • 4¹ + 2 • 4⁰.

Пример 12.4. Запись числа 1443₁₀ в разных системах счисления:

5А3₁₆ = 5 • 16² +А • 16¹ + 3 • 16⁰ = 5 • 256 + + 10 • 16 + 3 = 1280 + 160 + 3 = 1443 2643₈ = 2 • 8³ + 6 • 8² + 4 • 8¹ + 3 • 8⁰ = = 2 • 512 + 6 • 64 + 4 • 8 + 3 = 1024 + + 384 + 32 + 3 = 1443 10110100011₂ = 1 • 2¹⁰ + 0 • 2⁹ + 1 • 2⁸ + + 1 • 2⁷ + 0 • 2⁶ + 1 • 2⁵ + 0 • 2⁴ + + 0 • 2³ + 0 • 2² + 1 • 2¹ + 1 • 2⁰ = 1 * 1024 + 0 + 1 * 256 + 1 • 128 + 0 + 1 • 32 + 0 + 0 + 0 + 1 * 2 + 1 = 1024 + 256 +128 + 32 + 2 + 1 = 1443

Пример 12.5. Запись числа.

В записи числа 111 первая единица обозначает сотни, вторая — десятки, а третья — единицы (числовое значение — сто одиннадцать).

В записи числа III каждая цифра I имеет значение единицы (числовое зна­чение — три).

Из истории известно, что человек применял системы счисления с разны­ми основаниями. В Китае долго пользо­вались пятеричной системой счисления. Племена майя считали в двадцатеричной системе счисления. Шестидесяте­ричную систему счисления использова­ли в Вавилоне. Напоминанием об этой системе счисления сегодня является деление минуты на 60 секунд, часа — на 60 минут, а угла — на 360 градусов.

В основе счета дюжинами лежит две- надцатеричная система счисления, ко­торая используется до сих пор: в году 12 месяцев, на циферблате 12 часов. Для обозначения цифр в двенадцатеричной системе, кроме 10 цифр десятичной си­стемы счисления, использовались еще два значка для обозначения чисел 10 и 11. В разные времена и в разных стра­нах использовали: для 10 — T (англ. ten), D (лат. decem), X (римское 10); для 11 — E (англ. eleven) или O (фр. onze). Можно использовать буквы латинского алфавита — А(10) и В(11). Кроме того, иногда для обозначения 10 используют перевернутую двойку (g), для 11 — пе­ревернутую тройку (g).

Пример 12.6. Числа в шестнадцате­ричной системе счисления:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F, 10, 11 … 19, 1A, 1B … 1F, 20 … 29, 2A … 2F, 20 … 99, 9A, 9B, 9C, 9D, 9E, 9F, A0, A1 … FE, FF, 100…

Пример 12.7. Запись чисел в разных системах счисления.

Пример 12.8. Перевод чисел из деся­тичной системы счисления.

Действия по алгоритму перевода чи­сел из десятичной системы счисления обычно представляют «лесенкой», т. е. следующим образом:

В примере реализован перевод числа 342 в восьмеричную систему счисле­ния. Результат — 526₈.

1. Перевести число 762 в шестнадца­теричную систему счисления:49 = 110001₂
2. Перевести число 49 в двоичную систему счисления:

Для записи результата необходимо полученные остатки представить шест­надцатеричными цифрами: 10 = A₁₆, 15 = F₁₆. Результат 762 = 2FA₁₆

Пример 12.9. Перевод чисел в деся­тичную систему счисления:

11001₂ = 1 • 2⁴ + 1 • 2³ + 0 • 2² + + 0 • 2¹ + 1 • 2⁰ = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25₁₀;

3045₈ = 3 • 8³ + 0 • 8² + 4 • 8¹ + 5 • 8⁰ =3 • 512 + 0 + 32 + 5 = 1573₁₀;

A3D₁₆ = A • 16² + 3 • 16¹ + D • 16⁰ =10 • 256 + 3 • 16 + 13 = 2621₁₀

Дробные числа можно переводить аналогично:

12,3₅ = 1 • 5¹ + 2 • 5⁰ + 3 • 5^-1 = 5 + 2 + ³ = 7 + 0,6 = 7,6₁₀.

Пример 12.10. Таблица тетрад, три­ад и двоичных пар.

Пример 12.11. Перевод числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

Пример 12.12. Перевод числа 362₈ в двоичную систему счисления:

Нуль в начале записи числа можно опустить.
Ответ: 11110010₂.
Пример 12.13. Перевод числа 3202₄ в двоичную систему счисления:

Пример 12.14. Перевод чисел из двоичной системы счисления (знак ′ отделяет тетрады, триады или пары).
В шестнадцатеричную:

110011010₂ = 0001’1001’1010 = 19A₁₆

В восьмеричную:

11011010111₂ = 011’011’010’111 = 3327₈

В четверичную:

10110111₂ = 10’11’01’11 = 2313₄

Пример 12.15. Перевод числа C36₁₆ в восьмеричную систему счисления.

Сначала переведем число в двоич­ную систему счисления, затем разобьем его на триады и получим восьмерич­ную запись: C56₁₆ = 1100 0101 0110₂ = = 110’001’010’110 = 6126₈.

Пример 12.16. Перевод числа 23103₄ в шестнадцатеричную систему счисле­ния.

Переведем число в двоичную систему счисления, затем разобьем его на тетрады и получим шестнадцатеричную запись: 23103₄ = 10 11 01 00 11₂ = 0010’1101′ 0011 = 2D3₁₆.

Пример 12.17. Перевод числа 6122₈ с помощью калькулятора.