24.1. Постановка задачи (этап 1)Задача. Брошен камень с начальной скоростью 30 м/с под углом 60° к горизонту. Сопротивление воздуха не учитывать (пример 24.1). Вопросы: 1. Как далеко от места бросания камень упадет? 24.2. Выбор плана создания модели (этап 2)Для создания модели нужно составить математическую задачу (документальную математическую модель) и решить ее (пример 24.2). Таким образом, получаем план создания модели:
24.3. Создание документальной математической модели (этап 3а)В вертикальной плоскости полета камня зададим прямоугольную систему координат (пример 24.3). Начальная скорость v (м/c) раcкладывается на составляющие vx и vy по углу бросания u в градусах: \( υ_x=υ·cos(\frac{u·3,14)}{180}); \) \( υ_y=υ·sin(\frac{u·3,14)}{180}). \) Положение тела в полете определяется парой координат x(t), y(t). Зависимость координат от времени t (с) описывается формулами \( υ(t)=υ·cos(\frac{u·3,14)}{180})·t; \) \( υ(t)=υ·sin(\frac{u·3,14)}{180})·t – \frac{9,81·t^2)}{2}, \) где g = 9,81 — ускорение свободного падения. Положение камня в полете будем рассматривать в отдельные моменты времени (пример 24.4). 24.4. Создание компьютерной модели (этап 3б)Исходные данные и начало расчетной таблицы разместим по схеме из примера 24.5. Ячейки первой строки расчетной таблицы заполняем нулями. Вторая строка содержит формулы: A10: =A9+$A$5 Следующие 39 строк расчетной таблицы, включая строку 49, заполняются вниз содержимым диапазона A10:C10. Для наглядности построим траекторию полета камня как диаграмму графика функции (пример 24.6). На странице появится диаграмма с траекторией. Ее границы нужно расширить так, чтобы масштабы по осям стали примерно одинаковыми. Когда диаграмма выделена, к основным вкладкам с инструментами добавляются три новые для работы с диаграммой. Оформим диаграмму с помощью инструментов вкладки Макет (пример 24.7). 24.5. Исследование модели (этап 4)Модель адекватна реальному процессу только с допущением об отсутствии сопротивления воздуха и для положительных значений координат. 24.6. Получение решения задачи (этап 5)Чтобы ответить на вопросы задачи, анализируется расчетная таблица. Чтобы ответить на первый вопрос, по числам в столбце y(t) находятся две соседние строки, в которых стоят числа разных знаков. Ответы на остальные вопросы находятся в других столбцах этих строк (пример 24.8). |
Пример 24.1. Нетрудно представить, что после броска камень полетит по гладкой траектории вида Пример 24.2. Решение математической задачи возможно двумя путями. Его можно получить в виде математической формулы. Это аналитическое решение. Второй путь связан с построением компьютерной модели пошаговых вычислений. Это численное решение.Будем строить компьютерную модель, рассчитывая для разных моментов времени координаты камня в пространстве. Для этого используем метод построения таблиц значений функции в электронных таблицах.Пример 24.3. Прямоугольная система координат строится в вертикальной плоскости полета камня, и начало координат этой системы размещено в точке вылета камня. Пример 24.4. Пусть начальный момент равен 0, а последующие моменты отстоят друг от друга на одну и ту же величину 0,2 c, называемую шагом времени.Пример 24.5. Схема размещения данных и заголовков модели. Пример 24.6. Для построения диаграммы выделяем диапазон В9:С49 (второй и третий столбцы расчетной таблицы) и на вкладке Вставка в группе Диаграммы выбираем диаграмму Точечная. В последних версиях электронных таблиц удобно выбрать диаграмму в списке всех диаграмм. Чтобы открыть список, надо щелкнуть по стрелке в правом нижнем углу группы и выбрать вкладку Все диаграммы.Появляется панель с изображениями разновидностей диаграммы, на которой, пользуясь подсказками, выбираем диаграмму Точечная с гладкими кривыми и маркерами.Пример 24.7. В группе Подписи с помощью кнопки Легенда удалим легенду с диаграммы. С помощью кнопки Название диаграммы добавим над диаграммой название «Траектория полета». С помощью кнопки Названия осей добавим для горизонтальной оси название «Дальность», а для вертикальной оси повернутое название «Высота».Пример 24.8. Когда в столбце y(t) найдены указанные соседние строки, моментом падения можно считать среднее арифметическое значений времени столбца «Время» расчетной таблицы в этих строках. Дальностью падения считается среднее арифметическое значений столбца x(t) в этих же строках. Наибольшая высота взлета ищется как максимальное значение в столбце y(t).
|
Упражнения
1. Повторите на компьютере рассмотренное в параграфе решение задачи полета тела, брошенного под углом к горизонту.
2. С помощью модели полета тела подбором найдите угол бросания, при котором камень с начальной скоростью 40 м/с упадет в 100 м от места бросания. Найдите время полета.
3. Подбором найдите начальную скорость, при которой камень, брошенный под углом 60°, упадет в 100 м от места бросания.
4. Подбором найдите начальную скорость, при которой камень, брошенный под углом 60°, собьет неподвижную цель на удалении 100 м и на высоте 20 м.
У к а з а н и е. Для обозначения цели на диаграмму нужно добавить маркер цели.
Диаграмму нужно выделить и на вкладке Конструктор в группе Данные щелкнуть по кнопке Выбрать данные. Появляется диалоговое окно Выбор источника данных, в котором в зоне Элементы легенды (ряды) следует щелкнуть по кнопке Добавить. Открывается диалоговое окно Изменение ряда, в котором вводится имя ряда «Цель 1», значение X, равное 100, и значение Y, равное 20. Кнопкой ОК закрывается одно окно, затем — второе. На диаграмме появляется маркер цели.
5. Подбором найдите угол бросания, при котором камень, имеющий начальную скорость 40 м/с, собьет неподвижную цель на удалении 60 м и на высоте 30 м.
6. Подбором найдите начальную скорость с углом бросания 70°, при которой камень собьет неподвижную цель на удалении 50 м и на высоте 60 м.
7*. Подбором найдите начальную скорость и угол бросания, при которых камень собьет две неподвижные цели: первую — на удалении 50 м и на высоте 30 м, вторую — на удалении 100 м и на высоте 5 м.