1. Небесная механика. После появления работ Коперника, Галилея, Кеплера к середине XVII в. завершился описательный (или геометрический) период изучения движения планет. Была выявлена кинематика их движений, но оставалось неясным, почему планеты движутся. Что заставляет их обращаться вокруг Солнца, а спутники — вокруг планет? Чем объясняется устойчивость планетной системы?

Все материальные тела, если они ничем не поддерживаются, падают под действием силы тяжести на поверхность Земли. До тех пор, пока Земля считалась центральным телом мироздания, сила тяжести рассматривалась только как земное явление. Однако открытия Коперника и его последователей показали, что Земля — это рядовая планета, которая движется вокруг Солнца, как и другие планеты. Поэтому появилось предположение, что сила тяжести присуща не только Земле, но и другим небесным телам. На материальные тела, находящиеся около других планет, Луны или Солнца, действует сила тяжести, которая направлена к их центру так же, как и на Земле. Таким образом, благодаря распространению свойства тяжести на другие небесные тела, был поставлен вопрос о взаимодействии тел.

На основании третьего закона Кеплера и закона динамики материальной точки строго математически Ньютон обосновал закон всемирного тяготения, который гласит: два тела притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению масс этих тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Математическое выражение закона всемирного тяготения Ньютона имеет вид:

Формула (1)

где m₁ и m2 — массы двух тел, притягивающихся друг к другу, r — расстояние между ними. Коэффициент пропорциональности G (G = 6,673 · 10^-11 Н · м²/кг²) называют постоянной тяготения или гравитационной постоянной, он является одной из основных физических констант.

Формула (1) справедлива для тел (материальных точек), размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними. Два протяжённых шарообразных тела со сферически-симметричным распределением масс притягиваются друг к другу так же, как и материальные точки, т. е. как если бы их массы были сосредоточены в центре тел. А расстояние r следует отсчитывать от центров этих тел.

На основании закона всемирного тяготения и законов механики Ньютон математически доказал, что под действием силы тяготения тело массой m будет двигаться относительно тела массой М по одной из кривых: эллипсу, окружности, параболе или гиперболе.

Таким образом, Ньютон уточнил и обобщил первый закон Кеплера, который в новой формулировке гласит: под действием тяготения одно небесное тело движется в поле тяготения другого небесного тела по одному из конических сечений — эллипсу, окружности, параболе или гиперболе (рис. 39). При движении по эллипсу притягивающее тело всегда находится в одном из фокусов.

Наука, основывающаяся на законах Кеплера и Ньютона и изучающая движение небесных тел, называется небесной механикой. Небесная механика исследует движение небесных тел с учётом создаваемых ими полей тяготения. Основная задача данной науки заключается в том, чтобы, зная начальное положение тела (материальной точки) и его начальную скорость, определить его положение в любой другой момент времени.

2. Возмущения в движении небесных тел. Движение тел, строго подчиняющееся законам Кеплера, называется невозмущённым. Такая идеализация предполагает учёт взаимодействия только двух тел и описывает, например, движение планеты под действием только притяжения Солнца. Задача двух тел полностью была решена Ньютоном (закон всемирного тяготения).

Истинные же движения тел Солнечной системы значительно сложнее. Это объясняется тем, что тела Солнечной системы не только притягиваются Солнцем, но и взаимодействуют между собой. Отклонения в движениях тел от законов Кеплера называются возмущениями, а реальное движение тел — возмущённым движением.

Решение уравнения движения даже для трёх тел — задача исключительной сложности, однако анализ возмущений позволяет довольно точно определить массу и положение возмущающего тела. Наиболее ярким примером этому в истории астрономии стало открытие планеты Нептун на основе анализа возмущений, имеющихся в движении Урана.

Рисунок 39 — Получение орбитальных кривых при сечении конуса плоскостью

Ещё одним примером проявлений возмущающей силы являются приливы и отливы. Водная оболочка и земная кора (в меньшей степени) слегка вытягиваются в обе стороны вдоль линии, соединяющей Землю с Луной. Приливные волны в океанах и морях следуют друг за другом с востока на запад с интервалом около 12 ч 25 мин. Приливное трение замедляет вращение Земли, что приводит к увеличению длительности земных суток на 0,0014 секунды за столетие.

3. Определение массы Земли. Одной из важнейших характеристик небесного тела является его масса. Закон всемирного тяготения позволяет определять массу небесных тел, в том числе и массу Земли.

На тело массой m, находящееся вблизи поверхности Земли, действует сила тяжести F = mg, где g — ускорение свободного падения. Если тело движется только под действием силы тяжести, то, используя закон всемирного тяготения (1), ускорение свободного падения равно:

\( g=G\frac{M}{R_\bigoplus^2} \)и направлено к центру Земли. Следовательно, зная, что ускорение свободного падения g = 9,81 м/с², G = 6,673 c 10^-11 Н · м²/кг² и радиус Земли R_Å = 6370 км, можно по формуле ​\( M=\frac{gR_\bigoplus^2}{G} \)​ подсчитать массу Земли: М = 5,97 · 10²⁴ кг.

Среднюю плотность Земли можно определить, зная её массу и объём. Средняя плотность будет равна 5,5 · 10³ кг/м³.

Рисунок 40 — Круговое движение тел

4. Определение масс небесных тел. Массы небесных тел можно измерить разными способами:

1. Путём измерения силы тяжести на поверхности данного небесного тела (гравиметрический способ).
2. По третьему обобщённому закону Кеплера.

Первый способ применительно к Земле мы рассмотрели выше. Прежде чем рассматривать второй способ, проверим выполнение третьего закона Кеплера для случая кругового движения планеты со скоростью v_k. Пусть тело массой m движется с линейной скоростью v_kвокруг тела М (m << M) по окружности радиуса r_k (рис. 40). Это возможно, если движение происходит под действием силы, создающей центростремительное ускорение ​\( a=\frac{\upsilon_k^2}{r_k^2} \). Силой, создающей ускорение, является сила тяготения, равная

\( \frac{GMm}{r_k^2} \). Приравнивая ​\( \frac{\upsilon_k^2}{r_k} \)​ к ускорению

\( \frac{GM}{r_k^2} \), создаваемому тяготением, получим, что

Формула (2)

Если период обращения тела m вокруг тела M составляет время T, то линейная скорость движения этого тела по орбите равна

Формула (3)

Подставляя (3) в (2), получим: \( \left(2\pi\frac{r_k}{T}\right)^2=\frac{GM}{r_k}, или \)

Формула (4)

Для эллиптического движения формула (4) также справедлива, если вместо радиуса окружности r_K подставить большую полуось а эллиптической орбиты. В таком случае получим соотношение:

Формула (5)

которое можно сформулировать следующим образом: отношение куба большой полуоси орбиты тела к квадрату периода его обращения и массе центрального тела есть величина постоянная.

Если массой m меньшего тела нельзя пренебрегать по сравнению с массой M центрального тела, то в третий закон Кеплера, как показал Ньютон, вместо массы М войдёт сумма масс (M + m) и соотношение (5) запишется в виде:

Формула (6)

Обобщив формулу (6) для двух небесных тел массами М₁ и М₂, получим уточнённый третий закон Кеплера:

Формула (7)

т. е. квадраты сидерических периодов спутников ​\( (T_1^2\quad и\quad T_2^2), \)​ умноженные на сумму масс главного тела и спутника (М₁ + m₁ и М₂ + m₂), относятся как кубы больших полуосей орбит спутников ​\( (a_1^3\quad и\quad a_2^3), \)​.  Формула (7).

На основе уточнённого Ньютоном (7) третьего закона Кеплера можно вычислить вторым способом как массы планет, имеющих спутники, так и массу Солнца.

Массы планет, не имеющих спутников, могут быть определены по возмущениям, которые они вызывают в движении Земли, Марса, астероидов, комет, а также по возмущениям, производимым ими друг на друга.

Главные выводы
1. Закон всемирного тяготения Ньютона и законы Кеплера — основа небесной механики.
2. Реальное движение небесных тел — возмущённое движение, которое обусловлено притяжением не только Солнца, но и другими телами.
3. Уточнённый Ньютоном третий закон Кеплера позволяет определять массы планет, имеющих спутники, а также массу Луны и Солнца.

Контрольные вопросы и задания
1. Какие задачи решает небесная механика?
2. Сформулируйте закон всемирного тяготения. Каковы особенности в использовании данного закона для проведения расчетов?
3. Как понимают в астрономии «задачу двух тел»? «Задачу трех тел»?
4. Как Ньютон обобщил законы Кеплера?
5. Определите массу планеты Уран (в массах Земли), если известно, что спутник Урана Титания обращается вокруг него с периодом 8,7 сут на среднем расстоянии 438 тыс. км. Для Луны эти величины равны соответственно 27,3 сут и 384 тыс. км.
6. Определите среднюю плотность Солнца, если период обращения Земли вокруг Солнца принять равным 365 сут. При расчетах принять радиус земной орбиты равным 150 млн км, а радиус Солнца — 700 тыс. км.
7. Определите ускорение силы тяжести на поверхности Марса, если известно, что масса Марса равна 6,4 * 10²³ кг, а его радиус равен 3396 км.
8. Во сколько раз меньше будет весить человек на Марсе, чем на Земле, если масса Марса равна 6,4 * 10²³ кг, а его радиус равен 3396 км?

Проверь себя

Выбор тем